Cours du 16 décembre

Chapitre X – Familles Sommables

Familles sommables de nombres complexes

  • Définition
  • Invariance par changement de l’ensemble des indices
  • Sommation par paquets
  • Application au cas des séries doubles
  • Produit de Cauchy

Chapitre XI – Probabilités

Espace probabilisé

  • Tribu (ou -algèbre)

Cours du 14 décembre

Chapitre X – Familles Sommables

Ensembles dénombrables

  • Ensembles au plus dénombrables
  • Exemples : ;
  • Un produit cartésien fini d’ensembles dénombrables est dénombrables
  • Une union (au plus) dénombrable d’ensembles (au plus) dénombrables est (au plus) dénombrable
  • Exemples d’ensembles non dénombrables

Cours du 8 décembre

Chapitre IX – Séries entières

Fonctions développables en séries entières

  • Définition
  • Série de Taylor
  • Opérations sur les fonctions développables en séries entières
  • Développements en séries entières des fonctions usuelles

Cours du 7 décembre

Chapitre IX – Séries entières

Etude de la somme

  • Continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence
  • Primitivation
  • Dérivation – caractère
  • Unicité du développement en série entière

Cours du 5 décembre

Chapitre IX – Séries entières

Généralités et rayon de convergence

  • Théorèmes de comparaison
  • Rayon de convergence de et de
  • Produit de Cauchy

Etude de la somme

  • Une série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence.

Cours du 2 décembre

Chapitre VIII – Espaces vectoriels normés (Saison 1)

Applications lipschitziennes

  • Somme, combinaisons linéaires et composées d’applications lipschitziennes sont lipschitziennes
  • Deux normes sont équivalentes si et seulement si les applications identités sont lipschitzienne
  • Si l’espace de départ est de dimension finie, toute application linéaire est lipschitzienne

Chapitre IX – Séries entières

Généralités et rayon de convergence

  • Definition d’une série entière
  • Lemme d’Abel
  • Rayon de convergence
  • Convergence à l’intérieur du disque ouvert de convergence
  • Utilisation de la règle de D’Alembert

 

Cours du 1er décembre

Chapitre VIII – Espaces vectoriels normés (Saison 1)

Applications lipschitziennes

  • Rappel sur les cas des fonctions de dans  
  • Définition
  • Si est lipschitzienne et que  converge vers   alors  converge vers 
  • Cas des applications linéaires